包络线与抛物线

今天在给一个学生讲题的时候遇到了这样一道题目：

求 $\lvert x \rvert + \lvert y \rvert \le 3$ 所包含的区域的面积．

易知，这是个正方形，面积是 $\left(3\sqrt{2}\right)^2=18$．它在第一象限的边界点应该是形如 $(t,3-t)$ 的点，都在 $x+y=3$ 这条直线上．

但是，这个学生却想成了 $(t,0)$ 和 $(0,3-t)$ 的连线，把所有这样的线都画出来，发现它的边界是一条弧线．于是，这个学生就认为它的边界应该是一条圆弧．

显然，这个学生的错误是很明显的．但这也带来了一个问题：如果按照学生所想的，那么面积应该是多少？

那么首先需要确定的是，它的边界到底是什么？

1. 边界曲线

我们只考虑第一象限的情况．

1.1. 解法一

这个区域的边界，应该是取最靠外的点，或者是，最靠上的点．于是我们可以想办法求出，在每一个 $x$ 处，对应的 $y$ 的最大值．

设线段的方程为

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{3-a}=1 \tag{1}$$

其中 $0<a<3$，$0 \le x \le 3$，于是

$$\begin{aligned} y &= (3-a)\left(1-\frac{x}{a}\right) \\ &= 3+x-a-\frac{3x}{a} \\ &= 3+x-\left(a+\frac{3x}{a}\right) \\ &\le 3+x-2\sqrt{a\cdot \frac{3x}{a}} \\ &= 3+x-2\sqrt{3x} \\ &= \left(\sqrt{3}-\sqrt{x}\right)^2 \end{aligned}$$

所以边界应该是

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{3}\tag{2}.$$

1.2. 解法二

实际上，这个边界是所有满足条件的线段的包络线．

设线段所在直线的方程为

$$\begin{aligned} F(x,y,a) &= (3-a)x+ay-a(3-a) \\ &= a^2-(x-y+3)a+3x \\ &= 0 \end{aligned}$$

于是有

$$\frac{\partial{F}}{\partial{a}} = 2a-(x-y+3)=0$$

从而 $a=\dfrac{x-y+3}{2}$，代入到前一个方程消去 $a$，可以得到

$$\frac{1}{4}(x-y+3)^2-\frac{1}{2}(x-y+3)^2+3x=0$$

化简得

$$(x-y+3)^2=12x \tag{3}$$

其图像如下：

可以验证，方程 $(3)$ 和我们前面求出的方程 $(2)$ 是一致的．

1.3. 解法三

设直线方程同解法二，注意到对于每一个 $(x,y)$，有且仅有一个 $a$ 满足条件．于是有

$$\Delta=(x-y+3)^2-12x=0$$

很明显，和解法二得到的结果是一样的．

此解法的出处
此处称该曲线为绣曲线，但我只在此处和中文维基百科的包络线里面见到了这个名词．目前还不清楚这是否是通用的名词．

2. 围出的面积

第一象限所求的面积，就相当于边界和 $x$ 轴所夹的面积，因此

$$\begin{aligned} S &= \int_0^3 \left(3+x+2\sqrt{3x}\right)\mathrm{d}x \\ &= \left.\left[3x+\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}(3x)^{\frac{3}{2}}\right]\right|_0^3 \\ &= 9+4.5+4 \\ &= 22.5 \end{aligned}$$

于是四个象限的区域面积一共是 $22.5\times 4=90$．

3. 曲线的类型

很明显，这是一条二次曲线的一部分．经过仿射变换

$$\begin{cases} x'=x \\ y'=x-y+3 \end{cases}$$

变为 ${y'}^2=12x$，容易看出这是一条抛物线．

如果要做保距变换的话，则是

$$\begin{pmatrix} x \\[12pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{4} & -\sin\dfrac{\pi}{4} \\[10pt] \sin\dfrac{\pi}{4} & \cos\dfrac{\pi}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\[12pt] y' \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} \\[8pt] \dfrac{3}{4} \end{pmatrix}$$

此时方程变为 ${y'}^2=3\sqrt{2}x'$，焦点为 $\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{4},0\right)$，准线为 $x'=-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$．

于是原抛物线的焦点是 $\left(\dfrac{3}{2},0\right)$，准线为 $y=x$．

4. 问题拓展

在高中学习抛物线的时候，有这样一道题目：

对于抛物线 $y^2=2px$，过点$K\left(-\dfrac{p}{2},0\right)$ 作抛物线的两条切线，切点分别为 $A$、$B$，过抛物线在两切点之间的部分上的任意一点，作抛物线的切线，分别交 $KA$、$KB$ 与 $M$、$N$，求证： $\left|KM\right|+\left|KN\right|$ 为定值．

4.1. 证明

抛物线在 $\left(x_0,y_0\right)$ 处的切线是 $MN: y=\dfrac{p}{y_0}\left(x+x_0\right)$．易知经过 $K$ 的两条切线的方程为 $y=\pm\left(x+\dfrac{p}{2}\right)$，从而可解得交点的纵坐标为 $y_{M,N}=\dfrac{\dfrac{p}{2}-x_0}{\pm 1-\dfrac{y_0}{p}}$，因此

$$\left|KM\right|+\left|KN\right|=\sqrt{2}\left|y_M-y_N\right|=\sqrt{2}p$$

为定值．

4.2. 与前面的联系

其实仔细观察一下就会发现，抛物线这道题里面的 $MN$，就是我们方程 $(1)$ 所对应的线段，所有满足条件的 $MN$ 的包络线就是抛物线在 $A$、$B$ 之间的部分！