有理数与确界原理

在介绍实数的构造的时候，我们知道，实数与有理数的最大区别，就是实数有完备性，而有理数没有．完备性的描述有很多种，常见的一种是用确界原理来描述，即

对于一个全序集 $S$，若非空有上界的 $E\subseteq S$，则 $S$ 中存在 $E$ 的上确界（最小上界）．

这里面的一个关键就是，我们要证明：

有理数集不满足确界原理．

我们考虑集合 $G=\{\,x\in \mathbb{Q} \mid x^2<2\,\}$，我们要证明 $G$ 在 $\mathbb{Q}$ 中不存在上确界．

需要注意的是，因为 $\sqrt{2}$ 并不是有理数，所以这个地方不能直接用有理数稠密性来证明．

我们不妨假设 $p\in \mathbb{Q}$ 是 $G$ 的上确界，则我们只需要：

（1）证明 $p^2=2$ 不成立．

因为 $p\in \mathbb{Q}$，不妨设 $p=\dfrac{m}{n}$，其中 $m,n\in\mathbb{Z}$，$n>0$ 且 $(m,n)=1$．于是

$$\begin{aligned} p^2=2&\implies m^2=2n^2\implies 2|m^2 \implies 2|m \\ &\implies 4|m^2=2n^2\implies 2|n^2 \implies 2|n \end{aligned}$$

显然这与 $(m,n)=1$ 矛盾．因此 $p^2$ 不可能等于 $2$．

（2）证明 $p^2>2$ 不成立．

证明的关键点在于，我们要找到一个 $f(p)$，满足 $f(p)<p$ 且 $[f(p)]^2>2$，这样 $f(p)$ 就也是 $G$ 的一个上界，从而与 $p$ 为 $G$ 的上确界矛盾．

构造1：$f(p)=\dfrac12\left(p+\dfrac2p\right)$．

首先，$f(p)-p=\dfrac12\left(\dfrac2p-p\right)=\dfrac{2-p^2}{2p}<0$，于是 $f(p)<p$．

其次，根据均值不等式，$[f(p)]^2>p\cdot\dfrac2p=2$．

因此 $f(p)$ 满足条件．

构造2： $f(p)=p-\varepsilon$．

我们假设 $f(p)=p-\varepsilon$ 满足条件，只需要找到满足条件的 $\varepsilon>0$ 即可．

$$\begin{aligned} & (p-\varepsilon)^2>2 \\ \iff & p^2-2\varepsilon p+\varepsilon^2>2 \\ \impliedby & p^2-2\varepsilon p>2 \\ \iff & \varepsilon < \frac{p^2-2}{2p} \end{aligned}$$

根据有理数的稠密性，满足条件的 $\varepsilon$ 一定存在．

构造3：取 $\varepsilon=\dfrac{p^2-2}{p+2}$，则 $f(p)=p-\dfrac{p^2-2}{p+2}=\dfrac{2p+2}{p+2}$．

显然 $f(p)<p$．

$[f(p)]^2-2=\dfrac{(2p+2)^2-2(p+2)^2}{(p+2)^2}=\dfrac{2(p^2-2)}{(p+2)^2}>0$，于是 $[f(p)]^2>2$．

因此 $f(p)$ 满足条件．

（3）证明 $p^2<2$ 不成立．

和上面类似，我们要找到一个 $g(p)$，满足 $g(p)>p$ 且 $[g(p)]^2<2$，这样 $g(p)\in G$，与 $p$ 是 $G$ 的上界矛盾．

显然 $p>0$，$\left(\dfrac2p\right)^2>2$．利用上面给出的 $f(p)$，我们构造 $g(p)=\dfrac{2}{f\left(\dfrac2p\right)}$，则 $g(p)>\dfrac{2}{\dfrac2p}=p$，$[g(p)]^2=\dfrac{4}{\left[f\left(\dfrac2p\right)\right]^2}<\dfrac42=2$，满足条件．

就可以知道，不存在 $p\in\mathbb{Q}$ 为 $G$ 的上确界．也就是说，$\mathbb{Q}$ 不满足确界原理．

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参考资料：

• Principles of Mathematical Analysis，Walter Rudin