有理数与确界原理

在介绍实数的构造的时候,我们知道,实数与有理数的最大区别,就是实数有完备性,而有理数没有.完备性的描述有很多种,常见的一种是用确界原理来描述,即

对于一个全序集 SS,若非空有上界的 ESE\subseteq S,则 SS 中存在 EE 的上确界(最小上界).

这里面的一个关键就是,我们要证明:

有理数集不满足确界原理.

我们考虑集合 G={xQx2<2}G=\{\,x\in \mathbb{Q} \mid x^2<2\,\},我们要证明 GGQ\mathbb{Q} 中不存在上确界.

需要注意的是,因为 2\sqrt{2} 并不是有理数,所以这个地方不能直接用有理数稠密性来证明.

我们不妨假设 pQp\in \mathbb{Q}GG 的上确界,则我们只需要:

(1)证明 p2=2p^2=2 不成立.

因为 pQp\in \mathbb{Q},不妨设 p=mnp=\dfrac{m}{n},其中 m,nZm,n\in\mathbb{Z}n>0n>0(m,n)=1(m,n)=1.于是

p2=2    m2=2n2    2m2    2m    4m2=2n2    2n2    2n\begin{aligned} p^2=2&\implies m^2=2n^2\implies 2|m^2 \implies 2|m \\ &\implies 4|m^2=2n^2\implies 2|n^2 \implies 2|n \end{aligned}

显然这与 (m,n)=1(m,n)=1 矛盾.因此 p2p^2 不可能等于 22

(2)证明 p2>2p^2>2 不成立.

证明的关键点在于,我们要找到一个 f(p)f(p),满足 f(p)<pf(p)<p[f(p)]2>2[f(p)]^2>2,这样 f(p)f(p) 就也是 GG 的一个上界,从而与 ppGG 的上确界矛盾.

构造1:f(p)=12(p+2p)f(p)=\dfrac12\left(p+\dfrac2p\right)

首先,f(p)p=12(2pp)=2p22p<0f(p)-p=\dfrac12\left(\dfrac2p-p\right)=\dfrac{2-p^2}{2p}<0,于是 f(p)<pf(p)<p

其次,根据均值不等式,[f(p)]2>p2p=2[f(p)]^2>p\cdot\dfrac2p=2

因此 f(p)f(p) 满足条件.

构造2: f(p)=pεf(p)=p-\varepsilon

我们假设 f(p)=pεf(p)=p-\varepsilon 满足条件,只需要找到满足条件的 ε>0\varepsilon>0 即可.

(pε)>2    p22εp+ε2>2    p22εp>2    ε<p222p\begin{aligned} & (p-\varepsilon)>2 \\ \iff & p^2-2\varepsilon p+\varepsilon^2>2 \\ \impliedby & p^2-2\varepsilon p>2 \\ \iff & \varepsilon < \frac{p^2-2}{2p} \end{aligned}

根据有理数的稠密性,满足条件的 ε\varepsilon 一定存在.

构造3:取 ε=p22p+2\varepsilon=\dfrac{p^2-2}{p+2},则 f(p)=pp22p+2=2p+2p+2f(p)=p-\dfrac{p^2-2}{p+2}=\dfrac{2p+2}{p+2}

显然 f(p)<pf(p)<p

[f(p)]22=(2p+2)22(p+2)2(p+2)2=2(p22)(p+2)2>0[f(p)]^2-2=\dfrac{(2p+2)^2-2(p+2)^2}{(p+2)^2}=\dfrac{2(p^2-2)}{(p+2)^2}>0,于是 [f(p)]2>2[f(p)]^2>2

因此 f(p)f(p) 满足条件.

(3)证明 p2<2p^2<2 不成立.

和上面类似,我们要找到一个 g(p)g(p),满足 g(p)>pg(p)>p[g(p)]2<2[g(p)]^2<2,这样 g(p)Gg(p)\in G,与 ppGG 的上界矛盾.

显然 p>0p>0(2p)2>2\left(\dfrac2p\right)^2>2.利用上面给出的 f(p)f(p),我们构造 g(p)=2f(2p)g(p)=\dfrac{2}{f\left(\dfrac2p\right)},则 g(p)>22p=pg(p)>\dfrac{2}{\dfrac2p}=p[g(p)]2=4[f(2p)]2<42=2[g(p)]^2=\dfrac{4}{\left[f\left(\dfrac2p\right)\right]^2}<\dfrac42=2,满足条件.

就可以知道,不存在 pQp\in\mathbb{Q}GG 的上确界.也就是说,Q\mathbb{Q} 不满足确界原理.


参考资料:

  • Principles of Mathematical Analysis,Walter Rudin