2019 Canada MO 第2题

1. 题目

设 $a$、$b$ 为正整数，且满足 $a+b^3$ 能被 $a^2+3ab+3b^2-1$ 整除．求证：$a^2+3ab+3b^2-1$ 能被一个大于 $1$ 的整数的立方整除．^[1]

2. 分析

根据题目中 $a^2+3ab+3b^2$ 的形式，容易看出应该和 $(a+b)^3$ 有关系，从而可以证出 $(a+b)^3$ 能被 $a^2+3ab+3b^2-1$．

而本题的难点在于如何证明 $a^2+3ab+3b^2-1$ 有次数不小于 $3$ 的因子．这里使用了反证法，并对要证明的结论进行了加强，把证明 $a^2+3ab+3b^2-1$ 中素因子的次数大于 $2$，转化为证明其大于 $(a+b)$ 中对应的素因子的次数的 $2$ 倍，从而更容易导出矛盾．

3. 解答

设 $T=a^2+3ab+3b^2-1$，则

$$\begin{aligned} \left( a+b \right)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ &= a\left( a^2+3ab+3b^2 \right) + b^3 \\ &= a\left( T+1 \right) + b^3 \\ &= aT + \left( a+b^3 \right) \end{aligned}$$

由题知，$T \mid a+b^3$，故 $T \mid \left( a+b \right)^3$．

设 $a+b$ 的质因数分解为 $p_1^{r_1}p_2^{r_2} \cdots p_n^{r_n}$，$T = p_1^{s_1}p_2^{s_2} \cdots p_n^{s_n}$，其中 $r_i\geqslant 1, s_i\geqslant 0$，则只需证明存在一个 $s_k\geqslant 3$ 即可．

若对于任意的 $1 \leqslant i \leqslant n$，都有 $s_i \leqslant 2$，于是 $s_i \leqslant 2r_i$，此时有 $T \mid \left( a+b \right)^2$．但是，

$$\begin{aligned} T&=a^2+3ab+3b^2-1 \\ &>a^2+2ab+b^2 \\ &=\left( a+b \right)^2, \end{aligned}$$

矛盾．所以一定存在一个 $s_k\geqslant 3$，于是 $p_k^3\mid T$．

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