柯西不等式的若干证明方法

设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 为任意实数，则

$$\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$$

当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n}$ 时（当某 $b_i=0$ 时，认为 $a_i=0$）等号成立．

这个不等式称为柯西不等式．

柯西不等式由很多证明方法，这里我们介绍几种有代表性的方法．

1. 参数配方法

在旧版的高中选修课本 4-5《不等式选讲》中，介绍的就是这种方法．

我们引入一个二次函数

$$f(x) = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) x^2 + 2\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right) x + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$$

配方可得

$$f(x) = \sum_{i=1}^n \left(a_i x + b_i\right)^2 \geqslant 0$$

因此，考虑它的判别式，有

$$\Delta = 4\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 - 4\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \leqslant 0$$

因此

$$\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$$

这种方法的好处是，过程中只用到了配方法和二次函数的判别式，中学的学生对这两种技巧都比较熟悉．

2. 数学归纳法

证明一个和自然数 $n$ 有关的命题 ，考虑数学归纳法是一种比较自然的想法．

我们考虑证明一个更强的结论：

$$\left(\sum_{i=1}^n \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$$

这样可以避免负数的讨论．

当 $n=2$ 时，

$$\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right) - \left(\left|a_1b_1\right|+\left|a_2b_2\right|\right)^2 = \left(\left|a_1b_2\right|-\left|a_2b_1\right|\right)^2 \geqslant 0$$

因此

$$\left(\left|a_1b_1\right|+\left|a_2b_2\right|\right)^2 \leqslant \left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)$$

不等式成立．

假设当 $n=k$ 时，不等式成立，即

$$\left(\sum_{i=1}^k \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^k a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^k b_i^2\right)$$

当 $n=k+1$ 时，则要证

$$\begin{aligned} &\left(\sum_{i=1}^{k+1} \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^{k+1} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{k+1} b_i^2\right) \\[2ex] \Longleftrightarrow &\left(\sum_{i=1}^k \left|a_ib_i\right| + \left|a_{k+1}b_{k+1}\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^k a_i^2 + a_{k+1}^2\right)\left(\sum_{i=1}^k b_i^2 + b_{k+1}^2\right) \end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} \left(\sum_{i=1}^k \left|a_ib_i\right| + \left|a_{k+1}b_{k+1}\right|\right)^2 &\leqslant \left(\sqrt{\sum_{i=1}^k a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^k b_i^2} + \left|a_{k+1}b_{k+1}\right| \right)^2 \\[2ex] &\leqslant \left(\sum_{i=1}^k a_i^2 + a_{k+1}^2\right) \left(\sum_{i=1}^k b_i^2 + b_{k+1}^2\right) \end{aligned}$$

不等式成立．这里第一个不等号用的是 $n=k$ 的情形，第二个不等号用的是 $n=2$ 的情形．

于是

$$\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$$

实际上，归纳法的处理方法有很多种，这只是其中一种．

3. 正规化方法

所谓正规化（Normalization)，就是让 $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2 = 1$．

如果有 $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 = \sum_{i=1}^n b_i^2 = 1$，注意到

$$a_ib_i \leqslant \frac12 \left(a_i^2+b_i^2\right)$$

于是

$$\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqslant \sum_{i=1}^n \frac12 \left(a_i^2+b_i^2\right) = \frac12 \sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac12 \sum_{i=1}^n b_i^2 = \frac12 + \frac12 = 1$$

对于不满足条件的 $a_i$ 和 $b_i$，则可以对其进行正规化，令

$$\hat{a}_i = \frac{a_i}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}} \quad \hat{b}_i = \frac{b_i}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}}$$

则

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \hat{a}_i^2 &= \sum_{i=1}^n \left(a_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\right)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 \bigg/ \sum_{i=1}^n a_i^2 = 1 \\[2ex] \sum_{i=1}^n \hat{b}_i^2 &= \sum_{i=1}^n \left(b_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}\right)^2 = \sum_{i=1}^n b_i^2 \bigg/ \sum_{i=1}^n b_i^2 = 1 \end{aligned}$$

由上面的推导可知

$$\sum_{i=1}^n \hat{a}_i\hat{b}_i = \sum_{i=1}^n \left(a_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\right)\left(b_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}\right) \leqslant 1$$

去掉分母就可以得到

$$\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}$$

事实上，正规化方法给了我们一个把加法不等式变成乘法不等式的方法．

4. 拉格朗日恒等式

由拉格朗日恒等式，

$$\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)- \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}\left( a_ib_j-a_jb_i \right)^2 \geqslant 0$$

显然可得柯西不等式成立．

拉格朗日恒等式的证明：

$$\begin{aligned} &\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)- \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \\[2ex] =&\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i^2b_j^2\right) - \left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_ia_jb_j\right) \\[2ex] =&\left(\sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_i^2b_j^2 + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_j^2b_i^2 \right) - \left(\sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 +2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}^n a_ib_ia_jb_j\right) \\[2ex] =&\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_i^2b_j^2 + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_j^2b_i^2 - 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_ib_ja_jb_i \\[2ex] =&\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}\left( a_ib_j-a_jb_i \right)^2 \end{aligned}$$

5. 参数平均值不等式

我们借助含有参数的平均值不等式：

$$a_ib_i \leqslant \frac12 \left( m^2a_i^2 + \frac{b_i^2}{m^2} \right)$$

则

$$\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqslant \sum_{i=1}^n \frac12 \left( m^2a_i^2 + \frac{b_i^2}{m^2} \right) = \frac12 \left( m^2\sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{m^2} \right)$$

取 $m^2 = \sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}}$，则

$$\begin{aligned} &\frac12 \left( m^2\sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{m^2} \right) \\[3ex] = &\frac12 \left( \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}} \cdot \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}} \cdot \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \\[3ex] = &\frac12 \left( \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)} + \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)} \right) \\[3ex] = &\sqrt{\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)} \end{aligned}$$

命题得证．

这是一个技巧性比较强的方法．

6. 排序不等式

由于

$$\begin{aligned} \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i^2b_j^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_j \cdot a_ib_j \\[2ex] \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_i \cdot a_jb_j = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_j \cdot a_jb_i \end{aligned}$$

第一行的对应是

$$\begin{aligned} a_1b_1,\cdots,a_1b_n,a_2b_1,\cdots,a_2b_n,\cdots,a_nb_1,\cdots,a_nb_n \\ a_1b_1,\cdots,a_1b_n,a_2b_1,\cdots,a_2b_n,\cdots,a_nb_1,\cdots,a_nb_n \end{aligned}$$

这是顺序和；

第二行的对应是

$$\begin{aligned} a_1b_1,\cdots,a_1b_n,a_2b_1,\cdots,a_2b_n,\cdots,a_nb_1,\cdots,a_nb_n \\ a_1b_1,\cdots,a_nb_1,a_1b_2,\cdots,a_nb_2,\cdots,a_1b_n,\cdots,a_nb_n \end{aligned}$$

这是乱序和．

由排序不等式可知，

$$\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \geqslant \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2$$

7. 向量的内积

考虑 $\mathbb{R}^n$ 中的向量 $\boldsymbol\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，$\boldsymbol\beta= (b_1,b_2,\cdots,b_n)$，两个向量的内积定义为点积：

$$\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle := \sum_{i=1}^n a_ib_i$$

则向量 $\boldsymbol\alpha$ 的范数为

$$\lVert\boldsymbol\alpha\rVert:=\sqrt{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha\rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}$$

则柯西不等式等价于

$$\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert \leqslant \lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert$$

这就是柯西不等式的向量形式．

柯西不等式的向量形式的证明有很多，有的和前面的方法本质上是一致的．

比如，可以构造

$$f(t) = \langle\boldsymbol\alpha+t\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha+t\boldsymbol\beta\rangle= \lVert\boldsymbol\alpha\rVert^2+2\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle t+\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2 t^2 \geqslant0$$

则 $\Delta=4\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle^2-4\lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert\leqslant0$，这个实际上和方法1是一样的．

又或者，由

$$\langle\boldsymbol\alpha-\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha-\boldsymbol\beta\rangle \geqslant0$$

可得

$$\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle \leqslant \frac12\left(\lVert\boldsymbol\alpha\rVert^2+\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2\right)$$

对其进行正规化，可以得到

$$\frac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert}= \left\langle\frac{\boldsymbol\alpha}{\lVert\boldsymbol\alpha\rVert},\frac{\boldsymbol\beta}{\lVert\boldsymbol\beta\rVert}\right\rangle \leqslant \frac12\left(1+1\right)=1$$

这个实际上和方法3是一样的．

但是很明显，用内积的表述会简洁很多，而且还可以推广到其它内积的定义．

8. 正交化方法

对于柯西不等式的内积形式，除了上面两种证明方法，还有一种完全不同的证明方法．这种证明方法和 Gram-Schmidt 正交化的思想有关．

向量 $\boldsymbol\alpha$ 在 $\boldsymbol\beta$ 上的投影为 $\dfrac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta$，则向量 $\boldsymbol\gamma=\boldsymbol\alpha-\dfrac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta$ 与向量 $\boldsymbol\beta$ 正交，即 $\langle\boldsymbol\gamma,\boldsymbol\beta\rangle=0$．因此

$$\begin{aligned} \lVert\boldsymbol\alpha\rVert^2 &= \left\lVert\boldsymbol\gamma+\frac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta\right\rVert^2 \\[1ex] &= \lVert\boldsymbol\gamma\rVert^2 + \left\lVert\frac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta\right\rVert^2 \\[1ex] &= \lVert\boldsymbol\gamma\rVert^2 + \frac{\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert^2}{\left(\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2\right)^2}\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2 \\[1ex] &= \lVert\boldsymbol\gamma\rVert^2 + \frac{\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert^2}{\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2} \\[1ex] &\geqslant \frac{\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert^2}{\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2} \end{aligned}$$

所以

$$\lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert \geqslant \lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert$$

等号成立的条件为 $\boldsymbol\gamma=\boldsymbol0$，即 $\boldsymbol\alpha$ 与 $\boldsymbol\beta$ 共线．

9. 总结

柯西不等式作为数学中最重要的不等式之一，在很多领域都有应用．在上面这几种证明方法中，个人认为方法1是最容易理解的，而方法3是最简洁的，而方法8则是更一般化．

在给学生讲解的时候，应以方法1为主，有条件的话可以讲一下方法3．

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参考资料：

• 高中数学选修 4-5 《不等式选讲》B版
• 数学奥林匹克小丛书（高中卷）《平均值不等式与柯西不等式》
• The Cauchy-Schwarz Master Class，作者 J. Michael Steele
• Wikipedia: Cauchy–Schwarz inequality