柯西不等式的若干证明方法

a1,a2,,ana_1,a_2,\cdots,a_nb1,b2,,bnb_1,b_2,\cdots,b_n 为任意实数,则

(i=1naibi)2(i=1nai2)(i=1nbi2)\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)

当且仅当 a1b1=a2b2==anbn\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n} 时(当某 bi=0b_i=0 时,认为 ai=0a_i=0)等号成立.

这个不等式称为柯西不等式

柯西不等式由很多证明方法,这里我们介绍几种有代表性的方法.

1. 参数配方法

在旧版的高中选修课本 4-5《不等式选讲》中,介绍的就是这种方法.

我们引入一个二次函数

f(x)=(i=1nai2)x2+2(i=1naibi)x+(i=1nbi2)f(x) = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) x^2 + 2\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right) x + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)

配方可得

f(x)=(i=1naix+bi)20f(x) = \left(\sum_{i=1}^n a_i x + b_i\right)^2 \geqslant 0

因此,考虑它的判别式,有

Δ=4(i=1naibi)24(i=1nai2)(i=1nbi2)0\Delta = 4\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 - 4\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \leqslant 0

因此

(i=1naibi)2(i=1nai2)(i=1nbi2)\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)

这种方法的好处是,过程中只用到了配方法和二次函数的判别式,中学的学生对这两种技巧都比较熟悉.

2. 数学归纳法

证明一个和自然数 nn 有关的命题 ,考虑数学归纳法是一种比较自然的想法.

我们考虑证明一个更强的结论:

(i=1naibi)2(i=1nai2)(i=1nbi2)\left(\sum_{i=1}^n \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)

这样可以避免负数的讨论.

n=2n=2 时,

(a12+a22)(b12+b22)(a1b1+a2b2)2=(a1b2a2b1)20\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right) - \left(\left|a_1b_1\right|+\left|a_2b_2\right|\right)^2 = \left(\left|a_1b_2\right|-\left|a_2b_1\right|\right)^2 \geqslant 0

因此

(a1b1+a2b2)2(a12+a22)(b12+b22)\left(\left|a_1b_1\right|+\left|a_2b_2\right|\right)^2 \leqslant \left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)

不等式成立.

假设当 n=kn=k 时,不等式成立,即

(i=1kaibi)2(i=1kai2)(i=1kbi2)\left(\sum_{i=1}^k \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^k a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^k b_i^2\right)

n=k+1n=k+1 时,则要证

(i=1k+1aibi)2(i=1k+1ai2)(i=1k+1bi2)(i=1kaibi+ak+1bk+1)2(i=1kai2+ak+12)(i=1kbi2+bk+12)\begin{aligned} &\left(\sum_{i=1}^{k+1} \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^{k+1} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{k+1} b_i^2\right) \\[2ex] \Longleftrightarrow &\left(\sum_{i=1}^k \left|a_ib_i\right| + \left|a_{k+1}b_{k+1}\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^k a_i^2 + a_{k+1}^2\right)\left(\sum_{i=1}^k b_i^2 + b_{k+1}^2\right) \end{aligned}

于是

(i=1kaibi+ak+1bk+1)2(i=1kai2i=1kbi2+ak+1bk+1)2(i=1kai2+ak+12)(i=1kbi2+bk+12)\begin{aligned} \left(\sum_{i=1}^k \left|a_ib_i\right| + \left|a_{k+1}b_{k+1}\right|\right)^2 &\leqslant \left(\sqrt{\sum_{i=1}^k a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^k b_i^2} + \left|a_{k+1}b_{k+1}\right| \right)^2 \\[2ex] &\leqslant \left(\sum_{i=1}^k a_i^2 + a_{k+1}^2\right) \left(\sum_{i=1}^k b_i^2 + b_{k+1}^2\right) \end{aligned}

不等式成立.这里第一个不等号用的是 n=kn=k 的情形,第二个不等号用的是 n=2n=2 的情形.

于是

(i=1naibi)2(i=1naibi)2(i=1nai2)(i=1nbi2)\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)

实际上,归纳法的处理方法有很多种,这只是其中一种.

3. 正规化方法

所谓正规化(Normalization),就是让 i=1nai2=i=1nbi2=1\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2 = 1

如果有 i=1nai2=i=1nbi2=1\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 = \sum_{i=1}^n b_i^2 = 1,注意到

aibi12(ai2+bi2)a_ib_i \leqslant \frac12 \left(a_i^2+b_i^2\right)

于是

i=1naibii=1n12(ai2+b22)=12i=1nai2+12i=1nbi2=12+12=1\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqslant \sum_{i=1}^n \frac12 \left(a_i^2+b_2^2\right) = \frac12 \sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac12 \sum_{i=1}^n b_i^2 = \frac12 + \frac12 = 1

对于不满足条件的 aia_ibib_i,则可以对其进行正规化,令

a^i=aii=1nai2b^i=bii=1nbi2\hat{a}_i = \frac{a_i}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}} \quad \hat{b}_i = \frac{b_i}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}}

i=1na^i2=i=1n(ai/i=1nai2)2=i=1nai2/i=1nai2=1i=1nb^i2=i=1n(bi/i=1nbi2)2=i=1nbi2/i=1nbi2=1\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \hat{a}_i^2 &= \sum_{i=1}^n \left(a_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\right)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 \bigg/ \sum_{i=1}^n a_i^2 = 1 \\[2ex] \sum_{i=1}^n \hat{b}_i^2 &= \sum_{i=1}^n \left(b_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}\right)^2 = \sum_{i=1}^n b_i^2 \bigg/ \sum_{i=1}^n b_i^2 = 1 \end{aligned}

由上面的推导可知

i=1na^ib^i=i=1n(ai/i=1nai2)(bi/i=1nbi2)1\sum_{i=1}^n \hat{a}_i\hat{b}_i = \sum_{i=1}^n \left(a_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\right)\left(b_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}\right) \leqslant 1

去掉分母就可以得到

i=1naibii=1nai2i=1nbi2\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}

事实上,正规化方法给了我们一个把加法不等式变成乘法不等式的方法.

4. 拉格朗日恒等式

由拉格朗日恒等式,

(i=1nai2)(i=1nbi2)(i=1naibi)2=1i<jn(aibjajbi)20\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)- \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}\left( a_ib_j-a_jb_i \right)^2 \geqslant 0

显然可得柯西不等式成立.

拉格朗日恒等式的证明:

(i=1nai2)(i=1nbi2)(i=1naibi)2=(i=1nj=1nai2bj2)(i=1nj=1naibiajbj)=(i=1nai2bi2+1i<jnai2bj2+1i<jnaj2bi2)(i=1nai2bi2+21i<jnnaibiajbj)=1i<jnai2bj2+1i<jnaj2bi221i<jnaibjajbi=1i<jn(aibjajbi)2\begin{aligned} &\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)- \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \\[2ex] =&\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i^2b_j^2\right) - \left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_ia_jb_j\right) \\[2ex] =&\left(\sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_i^2b_j^2 + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_j^2b_i^2 \right) - \left(\sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 +2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}^n a_ib_ia_jb_j\right) \\[2ex] =&\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_i^2b_j^2 + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_j^2b_i^2 - 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_ib_ja_jb_i \\[2ex] =&\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}\left( a_ib_j-a_jb_i \right)^2 \end{aligned}

5. 参数平均值不等式

我们借助含有参数的平均值不等式:

aibi12(m2ai2+bi2m2)a_ib_i \leqslant \frac12 \left( m^2a_i^2 + \frac{b_i^2}{m^2} \right)

i=1naibii=1n12(m2ai2+bi2m2)=12(m2i=1nai2+i=1nbi2m2)\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqslant \sum_{i=1}^n \frac12 \left( m^2a_i^2 + \frac{b_i^2}{m^2} \right) = \frac12 \left( m^2\sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{m^2} \right)

m2=i=1nbi2i=1nai2m^2 = \sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}},则

12(m2i=1nai2+i=1nbi2m2)=12(i=1nbi2i=1nai2i=1nai2+i=1nai2i=1nbi2i=1nbi2)=12((i=1nbi2)(i=1nai2)+(i=1nai2)(i=1nbi2))=(i=1nai2)(i=1nbi2)\begin{aligned} &\frac12 \left( m^2\sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{m^2} \right) \\[3ex] = &\frac12 \left( \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}} \cdot \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}} \cdot \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \\[3ex] = &\frac12 \left( \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)} + \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)} \right) \\[3ex] = &\sqrt{\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)} \end{aligned}

命题得证.

这是一个技巧性比较强的方法.

6. 排序不等式

由于

(i=1nai2)(i=1nbi2)=i=1nj=1nai2bj2=i=1nj=1naibjaibj(i=1naibi)2=i=1nj=1naibiajbj=i=1nj=1naibjajbi\begin{aligned} \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i^2b_j^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_j \cdot a_ib_j \\[2ex] \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_i \cdot a_jb_j = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_j \cdot a_jb_i \end{aligned}

第一行的对应是

a1b1,,a1bn,a2b1,,a2bn,,anb1,,anbna1b1,,a1bn,a2b1,,a2bn,,anb1,,anbn\begin{aligned} a_1b_1,\cdots,a_1b_n,a_2b_1,\cdots,a_2b_n,\cdots,a_nb_1,\cdots,a_nb_n \\ a_1b_1,\cdots,a_1b_n,a_2b_1,\cdots,a_2b_n,\cdots,a_nb_1,\cdots,a_nb_n \end{aligned}

这是顺序和;

第二行的对应是

a1b1,,a1bn,a2b1,,a2bn,,anb1,,anbna1b1,,anb1,a1b2,,anb2,,a1bn,,anbn\begin{aligned} a_1b_1,\cdots,a_1b_n,a_2b_1,\cdots,a_2b_n,\cdots,a_nb_1,\cdots,a_nb_n \\ a_1b_1,\cdots,a_nb_1,a_1b_2,\cdots,a_nb_2,\cdots,a_1b_n,\cdots,a_nb_n \end{aligned}

这是乱序和.

由排序不等式可知,

(i=1nai2)(i=1nbi2)(i=1naibi)2\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \geqslant \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2

7. 向量的内积

考虑 Rn\mathbb{R}^n 中的向量 α=(a1,a2,,an)\boldsymbol\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)β=(b1,b2,,bn)\boldsymbol\beta= (b_1,b_2,\cdots,b_n),两个向量的内积定义为点积:

α,β:=i=1naibi\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle := \sum_{i=1}^n a_ib_i

则向量 α\boldsymbol\alpha 的范数为

α:=α,α=i=1nai2\lVert\boldsymbol\alpha\rVert:=\sqrt{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha\rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}

则柯西不等式等价于

α,βαβ\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert \leqslant \lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert

这就是柯西不等式的向量形式.

柯西不等式的向量形式的证明有很多,有的和前面的方法本质上是一致的.

比如,可以构造

f(t)=α+tβ,α+tβ=α2+2α,β+β20f(t) = \langle\boldsymbol\alpha+t\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha+t\boldsymbol\beta\rangle= \lVert\boldsymbol\alpha\rVert^2+2\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle+\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2 \geqslant0

Δ=4α,β24αβ0\Delta=4\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle^2-4\lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert\leqslant0,这个实际上和方法1是一样的.

又或者,由

αβ,αβ0\langle\boldsymbol\alpha-\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha-\boldsymbol\beta\rangle \geqslant0

可得

α,β12(α2+β2)\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle \leqslant \frac12\left(\lVert\boldsymbol\alpha\rVert^2+\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2\right)

对其进行正规化,可以得到

α,βαβ=αα,ββ12(1+1)=1\frac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert}= \left\langle\frac{\boldsymbol\alpha}{\lVert\boldsymbol\alpha\rVert},\frac{\boldsymbol\beta}{\lVert\boldsymbol\beta\rVert}\right\rangle \leqslant \frac12\left(1+1\right)=1

这个实际上和方法3是一样的.

但是很明显,用内积的表述会简洁很多,而且还可以推广到其它内积的定义.

8. 正交化方法

对于柯西不等式的内积形式,除了上面两种证明方法,还有一种完全不同的证明方法.这种证明方法和 Gram-Schmidt 正交化的思想有关.

向量 α\boldsymbol\alphaβ\boldsymbol\beta 上的投影为 α,ββ,ββ\dfrac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta,则向量 γ=αα,ββ,ββ\boldsymbol\gamma=\boldsymbol\alpha-\dfrac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta 与向量 β\boldsymbol\beta 正交,即 γ,β=0\langle\boldsymbol\gamma,\boldsymbol\beta\rangle=0.因此

α2=γ+α,ββ,ββ2=γ2+α,ββ,ββ2=γ2+α,β2(β2)2β2=γ2+α,β2β2α,β2β2\begin{aligned} \lVert\boldsymbol\alpha\rVert^2 &= \left\lVert\boldsymbol\gamma+\frac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta\right\rVert^2 \\[1ex] &= \lVert\boldsymbol\gamma\rVert^2 + \left\lVert\frac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta\right\rVert^2 \\[1ex] &= \lVert\boldsymbol\gamma\rVert^2 + \frac{\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert^2}{\left(\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2\right)^2}\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2 \\[1ex] &= \lVert\boldsymbol\gamma\rVert^2 + \frac{\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert^2}{\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2} \\[1ex] &\geqslant \frac{\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert^2}{\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2} \end{aligned}

所以

αβα,β\lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert \geqslant \lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert

等号成立的条件为 γ=0\boldsymbol\gamma=\boldsymbol0,即 α\boldsymbol\alphaβ\boldsymbol\beta 共线.

9. 总结

柯西不等式作为数学中最重要的不等式之一,在很多领域都有应用.在上面这几种证明方法中,个人认为方法1是最容易理解的,而方法3是最简洁的,而方法8则是更一般化.

在给学生讲解的时候,应以方法1为主,有条件的话可以讲一下方法3.


参考资料:

  • 高中数学选修 4-5 《不等式选讲》B版
  • 数学奥林匹克小丛书(高中卷)《平均值不等式与柯西不等式》
  • The Cauchy-Schwarz Master Class,作者 J. Michael Steele
  • Wikipedia: Cauchy–Schwarz inequality