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包络线与抛物线

今天在给一个学生讲题的时候遇到了这样一道题目:

x+y3\lvert x \rvert + \lvert y \rvert \le 3 所包含的区域的面积.

易知,这是个正方形,面积是 (32)2=18\left(3\sqrt{2}\right)^2=18.它在第一象限的边界点应该是形如 (t,3t)(t,3-t) 的点,都在 x+y=3x+y=3 这条直线上.

但是,这个学生却想成了 (t,0)(t,0)(0,3t)(0,3-t) 的连线,把所有这样的线都画出来,发现它的边界是一条弧线.于是,这个学生就认为它的边界应该是一条圆弧.

显然,这个学生的错误是很明显的.但这也带来了一个问题:如果按照学生所想的,那么面积应该是多少?

那么首先需要确定的是,它的边界到底是什么?

边界曲线

我们只考虑第一象限的情况.

解法一

这个区域的边界,应该是取最靠外的点,或者是,最靠上的点.于是我们可以想办法求出,在每一个 xx 处,对应的 yy 的最大值.

设线段的方程为

xa+y3a=1(1)\frac{x}{a}+\frac{y}{3-a}=1 \tag{1}

其中 0<a<30<a<30x30 \le x \le 3,于是

y=(3a)(1xa)=3+xa3xa=3+x(a+3xa)3+x2a3xa=3+x23x=(3x)2\begin{aligned} y &= (3-a)\left(1-\frac{x}{a}\right) \\ &= 3+x-a-\frac{3x}{a} \\ &= 3+x-\left(a+\frac{3x}{a}\right) \\ &\le 3+x-2\sqrt{a\cdot \frac{3x}{a}} \\ &= 3+x-2\sqrt{3x} \\ &= \left(\sqrt{3}-\sqrt{x}\right)^2 \end{aligned}

所以边界应该是

x+y=3.(2)\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{3}\tag{2}.

解法二

实际上,这个边界是所有满足条件的线段的包络线

设线段所在直线的方程为

F(x,y,a)=(3a)x+aya(3a)=a2(xy+3)a+3x=0\begin{aligned} F(x,y,a) &= (3-a)x+ay-a(3-a) \\ &= a^2-(x-y+3)a+3x \\ &= 0 \end{aligned}

于是有

Fa=2a(xy+3)=0\frac{\partial{F}}{\partial{a}} = 2a-(x-y+3)=0

从而 a=xy+32a=\dfrac{x-y+3}{2},代入到前一个方程消去 aa,可以得到

14(xy+3)212(xy+3)2+3x=0\frac{1}{4}(x-y+3)^2-\frac{1}{2}(x-y+3)^2+3x=0

化简得

(xy+3)2=12x(3)(x-y+3)^2=12x \tag{3}

其图像如下:

可以验证,方程 (3)(3) 和我们前面求出的方程 (2)(2) 是一致的.

解法三

设直线方程同解法二,注意到对于每一个 (x,y)(x,y),有且仅有一个 aa 满足条件.于是有

Δ=(xy+3)212x=0\Delta=(x-y+3)^2-12x=0

很明显,和解法二得到的结果是一样的.

此解法的出处
此处称该曲线为绣曲线,但我只在此处和中文维基百科的包络线里面见到了这个名词.目前还不清楚这是否是通用的名词.

围出的面积

第一象限所求的面积,就相当于边界和 xx 轴所夹的面积,因此

S=03(3+x+23x)dx=[3x+12x2+2323(3x)32]03=9+4.5+4=22.5\begin{aligned} S &= \int_0^3 \left(3+x+2\sqrt{3x}\right)\mathrm{d}x \\ &= \left.\left[3x+\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}(3x)^{\frac{3}{2}}\right]\right|_0^3 \\ &= 9+4.5+4 \\ &= 22.5 \end{aligned}

于是四个象限的区域面积一共是 22.5×4=9022.5\times 4=90

曲线的类型

很明显,这是一条二次曲线的一部分.经过仿射变换

{x=xy=xy+3\begin{cases} x'=x \\ y'=x-y+3 \end{cases}

变为 y2=12x{y'}^2=12x,容易看出这是一条抛物线.

如果要做保距变换的话,则是

(xy)=(cosπ4sinπ4sinπ4cosπ4)(xy)+(3434)\begin{pmatrix} x \\[12pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{4} & -\sin\dfrac{\pi}{4} \\[10pt] \sin\dfrac{\pi}{4} & \cos\dfrac{\pi}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\[12pt] y' \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} \\[8pt] \dfrac{3}{4} \end{pmatrix}

此时方程变为 y2=32x{y'}^2=3\sqrt{2}x',焦点为 (324,0)\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{4},0\right),准线为 x=324x'=-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}

于是原抛物线的焦点是 (32,0)\left(\dfrac{3}{2},0\right),准线为 y=xy=x

问题拓展

在高中学习抛物线的时候,有这样一道题目:

对于抛物线 y2=2pxy^2=2px,过点K(p2,0)K\left(-\dfrac{p}{2},0\right) 作抛物线的两条切线,切点分别为 AABB,过抛物线在两切点之间的部分上的任意一点,作抛物线的切线,分别交 KAKAKBKBMMNN,求证: KM+KN\left|KM\right|+\left|KN\right| 为定值.

证明

抛物线在 (x0,y0)\left(x_0,y_0\right) 处的切线是 MN:y=py0(x+x0)MN: y=\dfrac{p}{y_0}\left(x+x_0\right).易知经过 KK 的两条切线的方程为 y=±(x+p2)y=\pm\left(x+\dfrac{p}{2}\right),从而可解得交点的纵坐标为 yM,N=p2x0±1y0py_{M,N}=\dfrac{\dfrac{p}{2}-x_0}{\pm 1-\dfrac{y_0}{p}},因此

KM+KN=2yMyN=2p\left|KM\right|+\left|KN\right|=\sqrt{2}\left|y_M-y_N\right|=\sqrt{2}p

为定值.

与前面的联系

其实仔细观察一下就会发现,抛物线这道题里面的 MNMN,就是我们方程 (1)(1) 所对应的线段,所有满足条件的 MNMN 的包络线就是抛物线在 AABB 之间的部分!