两角和差的正余弦公式的若干证明方法

两角和差的正余弦公式,是整个三角恒等变形的基础,其它的恒等变形的公式,都是由这几个公式推导得到.因此,如何证明第一个公式,是一个很重要的问题.

这里我们整理几种常见证明方法.

1. 几何方法

几何方法的好处是与初中锐角三角函数的内容联系紧密,但是缺点只对锐角(甚至是两角和为锐角)的情况成立,而且不好推广.

1.1. 矩形

图1

图1

由矩形的对边相等可得

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{aligned}

1.2. 面积法

ABC\triangle ABC 中,ADBCAD \perp BCDDBAD=α\angle BAD = \alphaCAD=β\angle CAD = \beta,如图2

图2

SABC=SABD+SACDS_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}

12ABACsin(α+β)=12ABADsinα+12ACADsinβ\frac12 AB\cdot AC\sin(\alpha+\beta) = \frac12 AB\cdot AD\sin\alpha+\frac12 AC\cdot AD\sin\beta

于是

sin(α+β)=ADACsinα+ADABsinβ=cosβsinα+cosαsinβ\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)&=\frac{AD}{AC}\cdot\sin\alpha+\frac{AD}{AB}\cdot\sin\beta \\[1ex] &= \cos\beta\sin\alpha+\cos\alpha\sin\beta \end{aligned}

另外,也可以直接由张角定理得到同样的形式.

1.3. 正弦定理

在上面的图2中,根据正弦定理,有

sinBACBC=sinBAC=sinCAB\frac{\sin\angle BAC}{BC} = \frac{\sin B}{AC} = \frac{\sin C}{AB}

sin(α+β)BC=sin(90α)AC=sin(90β)AB=cosαAC=cosβAB\begin{aligned} \frac{\sin(\alpha+\beta)}{BC} &= \frac{\sin(90^\circ-\alpha)}{AC} = \frac{\sin(90^\circ-\beta)}{AB} \\[1ex] &= \frac{\cos\alpha}{AC} = \frac{\cos\beta}{AB} \end{aligned}

注意

BC=BD+DC=ABsinα+ACsinβBC = BD + DC = AB\sin\alpha + AC\sin\beta

又有

sin(α+β)BC=cosβsinα+cosαsinβABsinα+ACsinβ\frac{\sin(\alpha+\beta)}{BC} = \frac{\cos\beta\sin\alpha+\cos\alpha\sin\beta}{AB\sin\alpha + AC\sin\beta}

于是有

sin(α+β)=cosβsinα+cosαsinβ\sin(\alpha+\beta)=\cos\beta\sin\alpha+\cos\alpha\sin\beta

1.4. 托勒密定理

在半径为 RR 的圆的一个内接四边形 ABCDABCD 中,ABC=ADC=90\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ,如图3

图3

根据托勒密定理,有

ABCD+ADBC=ACBDAB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD

结合正弦定理可得

2Rsin(90α)2Rsinβ+2Rsin(90β)2Rsinα=2Rsin902Rsin(α+β)2R\sin(90^\circ-\alpha)\cdot2R\sin\beta+2R\sin(90^\circ-\beta)\cdot2R\sin\alpha=2R\sin90^\circ\cdot2R\sin(\alpha+\beta)

化简得

cosαsinβ+cosβsinα=sin(α+β)\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha=\sin(\alpha+\beta)

1.5. 弦图

我们可以用弦图来证明勾股定理.在原始的弦图中,四个小三角形是全等的.我们可以对它做一下变形,把四个全等的三角形改成两组全等的三角形,这样形成的弦图就不是两个正方形了,而是矩形和菱形.

1.5.1. 外弦图

图4

图4,计算面积可得

212sinαcosα+212sinβcosβ+11sin(α+β)=(sinα+sinβ)(cosα+cosβ)2\cdot\frac12\sin\alpha\cdot\cos\alpha+2\cdot\frac12\sin\beta\cdot\cos\beta+1\cdot1\cdot\sin(\alpha+\beta)=(\sin\alpha+\sin\beta)(\cos\alpha+\cos\beta)

化简即可得到两角和的正弦公式.

1.5.2. 内弦图

图5

图5,计算面积可得

212sinαcosα+212sinβcosβ+(sinβsinα)(cosαcosβ)=11sin(α+β)2\cdot\frac12\sin\alpha\cdot\cos\alpha+2\cdot\frac12\sin\beta\cdot\cos\beta+(\sin\beta-\sin\alpha)(\cos\alpha-\cos\beta)=1\cdot1\cdot\sin(\alpha+\beta)

化简即可得到两角和的正弦公式.

2. 坐标方法

坐标方法的好处是容易推广到一般角.

2.1. 距离公式+余弦定理

图6,在平面直角坐标系 xOyxOy 中,角 α\alpha 和角 β\beta 的终边分别与单位圆交于点 A(cosα,sinα)A(\cos\alpha,\sin\alpha)B(cosβ,sinβ)B(\cos\beta,\sin\beta),则 AOB=αβ\angle AOB = \alpha-\beta

图6

根据距离公式,

AB2=(cosαcosβ)2+(sinαsinβ)2=2(cosαcosβ+sinαsinβ)\begin{aligned} |AB|^2 &= \left(\cos\alpha-\cos\beta\right)^2+\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)^2 \\[1ex] &=2-\left(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\right) \end{aligned}

根据余弦定理,

AB2=OA2+OB22OAOBcos(αβ)=22cos(αβ)\begin{aligned} |AB|^2 &= |OA|^2+|OB|^2-2|OA|\cdot|OB|\cos(\alpha-\beta) \\[1ex] &= 2-2\cos(\alpha-\beta) \end{aligned}

于是有

cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

2.2. 距离公式+全等

图7,我们把上图中的 OBA\triangle OBA 旋转到 OMP\triangle OMP,则 OBAOMP\triangle OBA \cong \triangle OMP

图7

因此 MOP=BOA=αβ\angle MOP = \angle BOA = \alpha-\betaPP 点的坐标为 (cos(αβ),sin(αβ))\left(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta)\right),所以

AB2=PM2=(cos2(αβ)1)2+sin2(αβ)=22cos(αβ)\begin{aligned} |AB|^2 = |PM|^2 &= \left(\cos^2(\alpha-\beta)-1\right)^2+\sin^2(\alpha-\beta) \\[1ex] &= 2-2\cos(\alpha-\beta) \end{aligned}

得到了上一种方法同样的式子.

这种方法对比上一种方法的好处是避开了余弦定理.

3. 向量方法

在平面直角坐标系 xOyxOy 中,角 α\alpha 和角 β\beta 的终边分别与单位圆交于点 A(cosα,sinα)A(\cos\alpha,\sin\alpha)B(cosβ,sinβ)B(\cos\beta,\sin\beta),则 AOB\angle AOB 等于 βα\beta-\alphaαβ\alpha-\beta,或者和其中一个相差 2kπ2k\pi.因此

cos(αβ)=cosAOB=OAOBOAOB=OAOB=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ\begin{aligned} \cos(\alpha-\beta)&=\cos\angle AOB= \frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|\cdot\left|\overrightarrow{OB}\right|}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\\[2ex] &=(\cos\alpha,\sin\alpha)\cdot(\cos\beta,\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{aligned}

我们看到,向量法的好处是不需要讨论 α\alphaβ\beta 的情况,而且证明的过程非常简洁.

4. 复数方法

利用复数的指数形式和欧拉公式也可以很容易推出和角公式:

cos(α+β)+isin(α+β)=ei(α+β)=eiαeiβ=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=(cosαcosβsinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ)\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) &=e^{i(\alpha+\beta)} \\ &=e^{i\alpha}e^{i\beta} \\ &=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta) \\ &=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) \end{aligned}

对比两边的实部和虚部就可以得到两角和的正弦和余弦公式.


参考资料:

  • 两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
  • HPM视角下的两角和与差的余弦公式教学,数学教学2019年第3期
  • Wikipedia: List of trigonometric identities
  • MathWorld: Trigonometric Addition Formulas