如鱼饮水

我们可以用多种方法来对 e 进行定义，而且这些不同的定义方法是等价的．

对有理系数方程的无理根成对定理的证明

递推数列，是指数列中的每一项都由前面一项或者几项确定．具体来说，就是

$$a_{n+k}=\varphi(n,a_{n+k-1}, a_{n+k-2}, \cdots , a_{n})$$

其中递推关系为 $\varphi:\N \times X^{k} \to X$​​．这里的 $X$​ 是我们要考虑的数域，一般来说就是实数域 $\R$​​．这样的数列，我们称之为 $k$​​​ 阶递推数列．

解决在使用 \include 加载文档时产生的问题

在 Windows 上使用 $\text{C}\TeX$ 宏包的时候，如果不指定字库，则默认使用 中易字库+微软雅黑。这些字体在 Windows 系统上都默认安装好了，不需要额外安装字体就可以使用。但如果想要使用方正字体，即指定 fontset=founder，则需要手动下载并安装方正字体在可以正常运行。

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对比两款软件在网课教学中的优缺点

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两角和差的正余弦公式，是整个三角恒等变形的基础，其它的恒等变形的公式，都是由这几个公式推导得到．因此，如何证明第一个公式，是一个很重要的问题．

设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 为任意实数，则

$$\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$$

当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n}$ 时（当某 $b_i=0$ 时，认为 $a_i=0$）等号成立．