tkz-elements 宏包介绍

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使用 tkz-elements 宏包绘制几何图形

1. tkz-euclide 宏包的优缺点

之前在绘制平面几何图形的时候，一直使用 tkz-euclide 宏包。其优点如下：

  • 方便调整图像大小和形状；
  • 常见的需求都能够直接画出来（如三角形的各种心）；
  • 函数的命名规则比较规矩；
  • 整个绘制图形的代码分为三部分，可读性很好：
    • 定义（如 \tkzDef... 和 \tkzInter...）；
    • 绘制（如 \tkzDraw... 和 \tkzFill...）；
    • 标记（如 \tkzLabel... 和 \tkzMark...）。

但是缺点也很明显：

  • 命名比较繁琐；
  • 各种括号容易写混了；
  • 各个参数的顺序很不自然。

例如「直线 AIAI 与 ⊙O\odot O 异于 AA 的交点为 PP」，用 tkz-euclide 命令来写是

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\tkzInterLC[common=A](A,I)(O,A) \tkzGetFirstPoint{P}

这里面主要有两个问题，一是可选参数 [common=A] 在中间，而正常的思路是先写出直线和圆，再写可选参数，这样会比较顺；二则是后面的获取交点 PP，需要一个单独的命令，而且还要根据前面可选参数的不同，来决定是使用 \tkzGetFirstPoint 还是 \tkzGetPoints。

另外，一个命令里同时用到了小括号、中括号、大括号，虽然是有规律的，但是还是容易打错了，导致编译失败。

当然解决方法也是有的，那就是利用 VSCode 的代码片段（snippet）功能，这样可以自定义参数的输入顺序，也可以保证不会打错括号。例如上面的命令，实际上用到了下面的代码片段：

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"tkzInterLC1": {
  "prefix": "\\tkzInterLC",
  "body": [
    "\\tkzInterLC[${3}]($1)($2) \\tkzGetFirstPoint{$4}",
    "$0"
  ]
}

我把常用的 50 多个命令都写成了类似上面的代码片段，这样在使用的时候就能够自动补全，只需要输入对应的参数即可。

2. tkz-elements 宏包简介

今年在写几何题解析的时候，发现了 tkz-euclide 宏包作者写的新宏包：tkz-elements，把比较繁琐的「定义」的部分改为使用 lua 语言进行编程。这样写出的代码可读性更强，写起来也更自然。

主要改进的点有：

  • 计算更加精确（不过这点对我实际使用影响不大）；
  • 使用面向对象编程的范式，这对于写惯了编程代码的我来说就很顺了。

以 2024 年 IMO 第 4 题为例，定义部分新旧代码的对比如下：

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%% 定义三角形 ABC
\def\r{4}
\tkzDefPoint(120:\r){A}
\tkzDefPoint(190:\r){B}
\tkzDefPoint(350:\r){C}

%% 定义内心、外心、内切圆切点
\tkzDefTriangleCenter[in](A,B,C) \tkzGetPoint{I}
\tkzDefTriangleCenter[circum](A,B,C) \tkzGetPoint{O}
\tkzDefSpcTriangle[intouch, name=T_](A,B,C){A,B,C}

%% 定义 X、Y 两点
\tkzDefPointsBy[symmetry=center I](T_B,T_C){B',C'}
\tkzDefTangent[at=B'](I) \tkzGetPoint{B''}
\tkzInterLL(B',B'')(B,C) \tkzGetPoint{X}
\tkzInterLL(B',B'')(A,B) \tkzGetPoint{X'}

\tkzDefTangent[at=C'](I) \tkzGetPoint{C''}
\tkzInterLL(C',C'')(B,C) \tkzGetPoint{Y}
\tkzInterLL(C',C'')(A,C) \tkzGetPoint{Y'}

%% 定义其它点
\tkzInterLC[common=A](A,I)(O,A) \tkzGetFirstPoint{P}
\tkzDefMidPoint(A,C) \tkzGetPoint{K}
\tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{L}
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-- 定义三角形 ABC
local dis = 4
z.A = point:polar_deg(dis, 120)
z.B = point:polar_deg(dis, 190)
z.C = point:polar_deg(dis, 350)
T.ABC = triangle(z.A, z.B, z.C)

-- 定义内心、外心、内切圆切点
z.O = T.ABC.circumcenter
C.I = T.ABC:in_circle()
z.I = C.I.center
z.T_A, z.T_B, z.T_C = T.ABC:intouch():get()

-- 定义 X、Y 两点
z.Bp = C.I:antipode(z.T_B)
L.BpX = C.I:tangent_at(z.Bp)
z.X = intersection(L.BpX, T.ABC.bc)
z.Cp = C.I:antipode(z.T_C)
L.CpY = C.I:tangent_at(z.Cp)
z.Y = intersection(L.CpY, T.ABC.bc)
z.Xp = intersection(L.BpX, T.ABC.ab)
z.Yp = intersection(L.CpY, T.ABC.ca)

-- 定义其它点
z.P = intersection(T.ABC:bisector(), T.ABC:circum_circle(), {known = z.A})
_, z.K, z.L = T.ABC:medial():get()

使用 tkz-elements 绘制整个图形的代码结构如下：

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\directlua{
  init_elements()
  -- 上面的定义部分...
}

\begin{tikzpicture}
  \tkzGetNodes

  %% 画图部分...
  %% 依旧使用 tkz-euclide 宏包
\end{tikzpicture}

首先使用 \directlua 导入 lua 代码。

这也决定了该文档必须使用 LuaLaTeX 编译，而不能使用 pdfLaTeX 或 XeLaTeX 编译。
如果使用 latexmk 控制编译过程，加上 -pdflua 参数即可。

然后在 tikzpicture 环境中使用 \tkzGetNodes 获取上面定义的几何对象。

tkz-elements 宏包使用 lua 语言的 table（表）来保存几何对象，常用的有：

  • z：点（复数 zz）
  • L：直线（line）
  • C：圆（circle）
  • T：三角形（triangle）

其它还包括：

  • Q：四边形（quadrilateral）
  • P：平行四边形（parallelogram）
  • R：矩形（rectangle）
  • S：正方形（square）
  • RP：正多边形（regular polygon）
  • O：直角坐标系（orthonormal Cartesian coordinate system）
  • V：向量（vector）
  • M：矩阵（matrix）
  • PA：路径（path）

上面代码中的 init_elements()，其实就是初始化（或者重置）上面这些储存几何对象的表。

lua 使用 table.name 来访问表中的元素（当然也可以使用 table["name"]，不过显然前者更简洁）。

例如，z.A 表示点 AA，z.T_A 表示点 TAT_A，z.Bp 表示点 B′B'（撇号的英文是 prime），T.ABC 表示三角形 ABCABC。

lua 可以通过 table（以及内部的 metatable）实现面向对象编程。我们知道，对象由属性（attribute）和方法（method）组成。

lua 使用点号 . 来访问属性，使用冒号 : 来访问方法。

值得说明的是，有两个方法是所有几何对象都有的：new(...) 方法用来构造新的对象，get() 方法用来获取构造对象的点。

以三角形为例，我们首先使用 new 方法来创建对象：

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T.ABC = triangle:new(z.A, z.B, z.C)
-- 或者简化写法
T.ABC = triangle(z.A, z.B, z.C)

三角形包含一些常见的属性，比如顶点、边、面积、半周长、内心、外心、内径、外径等等。包含的方法也很多，包括中线、高、角平分线、内切圆、外接圆等等，基本上经常用到的都有定义。例如

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-- 点 O 是三角形 ABC 的外心
z.O = T.ABC.circumcenter
-- 圆 I 是三角形 ABC 的内切圆
C.I = T.ABC:in_circle()
-- 获取三角形 ABC 的内切点三角形的三个顶点
z.T_A, z.T_B, z.T_C = T.ABC:intouch():get()

这些属性和方法基本上就是对应的英文名称，因此很好记。如果不确定的话，文档查起来也很方便。在文档中，每种几何对象都有一个列表，列出所有的属性；然后所有方法按照返回值的类型分别举例说明。

3. tkz-elements 宏包的一些内部实现

由于 tkz-elements 宏包是使用 lua 语言实现的，因此我能够看懂它的源代码，可以了解它的具体实现方法。

3.1. tkz-elements.sty

加载 tkz_elements_main 模块，定义了 tkzelements 环境、\tkzGetNodes 命令，还有一些不太常用的命令。

3.2. tkz_elements_main.lua

加载各个几何对象对应的定义和函数模块，定义了 init_elements 初始化函数。

3.3. tkz_elements_point.lua

首先定义了一个工厂函数 class，用来实现面向对象的类，然后使用复数类来定义点。

3.4. tkz_elements_triangle.lua

可以看到，三角形的各个心都是通过重心坐标或者三线坐标计算得到。