浅谈递推数列（一）：递推数列的基础知识

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递推数列，是指数列中的每一项都由前面一项或者几项确定．具体来说，就是

an+k=φ(n,an+k−1,an+k−2,⋯ ,an)a_{n+k}=\varphi(n,a_{n+k-1}, a_{n+k-2}, \cdots , a_{n})

其中递推关系为 φ:N×Xk→X\varphi:\N \times X^{k} \to X​​．这里的 XX​ 是我们要考虑的数域，一般来说就是实数域 R\R​​．这样的数列，我们称之为 kk​​​ 阶递推数列．

对于 kk 阶递推数列，我们需要 kk 个初始值，才能够将数列完全确定下来．

1. 常见的递推数列

我们最熟悉的等差数列和等比数列，都可以看成递推数列．

等差数列的递推关系为

an+1=an+d.a_{n+1}=a_n+d.

等比数列的递推关系为

an+1=an⋅q,q≠0.a_{n+1}=a_n\cdot q,\quad q\ne 0.

另外，还有一个可以看成递推数列的，就是已知数列的部分和．例如数列 {an}\{a_n\} 的部分和为 SnS_n，则数列 SnS_n​ 的递推关系为

Sn+1=Sn+an.S_{n+1}=S_n+a_n.

还有一个我们都知道的数列，就是斐波那契数列，

F0=F1=1,Fn+2=Fn+1+FnF_0=F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n

这是一个典型的二阶线性递推数列，在后面第五节，我们会讲如何来求数列 {Fn}\{F_n\}​ 的通项公式．

2. 一阶递推数列的基本解决方法

实际上，我们可以对等差数列和等比数列进行推广．当相邻两项的差值或者比值不是定值，而是一个关于 nn​​ 的函数时，我们也可以仿照等差或等比的方法进行处理．例如数列 {an}\{a_n\} 满足

an+1=an+f(n),a_{n+1}=a_n+f(n),

则

an=a1+∑k=1n−1(ak+1−ak)=a1+∑k=1n−1f(k)a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_k\right)=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)

或者，如果数列 {an}\{a_n\} 满足

an+1=an⋅f(n),a_{n+1}=a_n\cdot f(n),

则

an=a1∏k=1n−1an+1an=a1∏k=1n−1f(k)a_n=a_1\prod_{k=1}^{n-1}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a_1\prod_{k=1}^{n-1}f(k)

对于不是这两种形式的数列，我们也可以尝试通过换元等方法，把它们转换成上面两种形式．

在下一节中，我们将重点来看一下一阶常系数线性递推关系，看看如何把一个数列“变”成等差或者等比数列．