Mathematica 中特殊符号的使用规则

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最近因为一些原因重新开始使用 Mathematica，Mathematica 的符号计算功能非常强大，但是在网上搜索别人的代码的时候，发现很难看懂，里面各种「@#%^&*?!」符号，看得人眼花缭乱。

所以在这里我们对一些常用的符号做一些总结。

20211014 更新：关于 Mathematica 的系统的介绍，可以看清华大学刘思齐教授在 B 站的视频 北京某高校《Mathematica及其应用》 (共八讲) (已完结)

1. 前置、中置与后置运算符

我们知道，在数学中，我们很多时候习惯使用中置运算符，而计算机科学一般都是使用前置运算符，因此在 Mathematica 中，对于各种运算符都给了不同的符号。

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f @ x
x // f
(* 结果是 *)
f[x]

需要注意的是，后置运算符 // 的运算优先级较低，例如 1+x//f 表示的是 f[1+x]，而不是 1+f[x]，这点在使用的时候需要注意，必要的时候可以加小括号。

对于有多个参数的函数，可以使用中置运算符：

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x~f~y~f~z
(* 结果是 *)
f[x,y,z]

这种形式在连接列表（~Join~）、连接字符串（<>）等时候比较常见。

注意：仅当函数 f 有 Flat 属性时才可以这么用。

2. 函数式编程符号

在函数式编程中，Map、Apply 是两个非常重要的函数，因此 Mathematica 专门规定了简写的符号。

Map 函数：

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f /@ {a, b, c}
Map[f, {a, b, c}]
(* 结果是 *)
{f[a], f[b], f[c]}

注意，Map 函数不仅仅可以作用在列表上，还可以作用在表达式上

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Map[f, a + b + c]
(* 结果是 *)
f[a] + f[b] + f[c]

Map[f, g[a, b, c]]
(* 结果是 *)
g[f[a], f[b], f[c]]

还有一个不太常用的符号 //@，表示的是 MapAll 函数：

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f //@ {{a, b}, {c, d}, {x, y}}
MapAll[f, {{a, b}, {c, d}, {x, y}}]
Map[f, {{a, b}, {c, d}, {x, y}}, {0, Infinity}]
(* 结果是 *)
f[{f[{f[a], f[b]}], f[{f[c], f[d]}], f[{f[x], f[y]}]}]

Apply 函数：

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f @@ {a, b, c}
Apply[f,{a, b, c}]
(* 结果是 *)
f[a, b, c]

另外，Apply 函数还有一种简写形式 @@@，表示在第 1 层应用函数（@@ 默认是在最外层，也就是第 0 层）。

注意下面三个符号的不同点：

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f @@ {{a, b}, {c, d}, {x, y}}
(* 结果是 *)
f[{a, b}, {c, d}, {x, y}]

f @@@ {{a, b}, {c, d}, {x, y}}
(* 结果是 *)
{f[a, b], f[c, d], f[x, y]}

f /@ {{a, b}, {c, d}, {x, y}}
(* 结果是 *)
{f[{a, b}], f[{c, d}], f[{x, y}]}

在使用 Map 和 Apply 函数的时候，一定要注意列表的层数，必要时需要指定层数来使用。

Mathematica 中没有 Reduce 函数，可以视情况分别使用 FoldList、ComposeList、NestList 等函数。

Mathematica 中也没有 Zip 函数，可以视情况分别使用 Thread、MapThread、MapIndexed 等函数。

3. 匿名函数（λ 函数）

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(x ⟼ x^2) /@ Range[10]
(x \[Function] x^2) /@ Range[10]
Function[x, x^2] /@ Range[10]
(#1^2) & /@ Range[10]

(* 匿名函数可以直接作用于列表 *)
(#1^2) & @ Range[10]
Range[10] // (#1^2) &

(* 结果是 *)
{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}

& 结尾表示一个匿名函数，其中 #1（Slot[1]）、#2（Slot[2]）等表示参数。#1 可简写为 #，#0（Slot[0]） 则表示函数本身。

##（即##1、SlotSequence[]）表示所有参数，##k（SlotSequence[k]） 表示从第 k 个开始后面的参数。

常见的用法比如定义谓词函数：

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Select[{1, -1, 2, -2, 3, -3}, # >= -1 &]
(* 结果是 *)
{1, -1, 2, 3}

传递函数参数：

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(* 牛顿法 *)
NewtonZero[f_, x0_] := FixedPoint[# - f[#]/f'[#] &, x0]

等等。

4. 函数的复合

下面是函数复合的不同表示方法，其中 @* 表示左复合，/* 表示右复合。特别要注意其中的小括号。

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f@*g@*h @@ {x, y, z}
(f@*g@*h)[x, y, z]
Composition[f, g, h][x, y, z]

h /* g /* f @@ {x, y, z}
(h /* g /* f)[x, y, z]
RightComposition[h, g, f][x, y, z]

f@g@h[x, y, z]
f@g@(h @@ {x, y, z})

h[x, y, z] // g // f
h @@ {x, y, z} // g // f

f[g[h[#1, #2, #3]]]& [x, y, z]
f[g[h[#1, #2, #3]]]& @@ {x, y, z}

(* 结果是 *)
f[g[h[x, y, z]]]

5. 逻辑运算符

这部分和其它语言类似，&&（或 ∧）表示且，||（或 ∨）表示或，!（或 ¬）表示非（否定）。

6. 历史记录

% 表示上一个结果，%% 表示倒数第二个结果，%%...%（k 次）表示倒数第 k 次结果，%n 表示第 n 次计算的结果。

7. 模式匹配

这部分我用的不多，主要是方程的解会以这种形式给出。-> 表示转换规则，使用 /. 可以应用规则。

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Solve[{x^2 + y == 5, x - y == 1}, {x, y}]
(* 结果是 *)
{{x -> -3, y -> -4}, {x -> 2, y -> 1}}

f[x, y] /. %
(* 结果是 *)
{f[-3, -4], f[2, 1]}

其它的还有字符串的模式匹配等等。

参考资料：

  • How to| 使用简写符号
  • What the @#%^&*?! do all those funny signs mean?