双正方形模型(一)
在正方形的题目中,有很常见的一类是和两个正方形有关的图形,如下图:

在这个图形中,有很多有意思的性质,也衍生出了很多的题目.我们讲分几次一一道来.
1. 「手拉手」模型
在学习全等的时候,我们知道有一类很重要的全等模型——旋转全等模型,俗称「手拉手」模型.说的是两个共顶点且顶角相等的等腰三角形,一定伴随着一组旋转全等,如图2
:

和 是两个顶角相等的等腰三角形,易证 .这是一个旋转全等,旋转角度等于两个等腰三角形的顶角角度.
关于这个模型,也有很多相关的结论,不过大部分和这次的内容关系不大,有机会我们另开文讲述.
那么,对于两个共顶点的正方形,也有类似的结论.在图1
中,我们可以把它看成是两个等腰直角三角形 和 的「手拉手」,于是就有 ,而且旋转角度为 .

于是,我们就得到了一个对角线垂直且相等的四边形 .
1.1. 和中点四边形相关的问题
熟悉中点四边形的朋友马上就会想到,这样一个四边形的中点四边形一定是一个正方形,也就是下面这个图:

在这个图中,中点四边形 就是一个正方形.
2. 另一个和中点相关的问题
在图1
中,如果我们取 的中点 ,连结 ,则 且 .(如果取 中点,有类似的结论)

对于中点问题,我们知道一种常见的处理方法就是「倍长中线」,因此我们倍长 至 ,可以证明 .注意这是一个旋转 的全等,因此 和 垂直且相等,所以上面的结论成立.

这个命题逆命题也成立,即如果 ,则 为 的中点,且 .
这个命题也可以利用上图来证明,不过这个时候需要直接延长作 来证明全等.
这个时候另外一种处理方法是做垂直,利用弦图的模型来证明全等.

如图7
,延长 交 于 ,作 于 , 于 ,则 ,,于是 且 ,因此 是平行四边形,于是
这两个证明同时还都证明了另一个结论,就是 .由割补法知这两个三角形的面积的确是相等的.
当然,如果熟悉三角函数的话,这两个三角形的面积相等是显然的.因为 和 互补,而角的两边对应相等,因此面积也是相等的.
2.1. 变形一
前面我们说了 是一个对角线垂直且相等的四边形,因此,这个题的可以这样来出:
如图8
,在四边形 中,,且 ,分别取 、、 的中点 、、,分别过 、 作 、 的垂线交于 ,则 .

这个图如果把 、、、 都连起来,显然有 ,注意这是一个旋转 的全等,因此 、 都是等腰直角三角形.于是这就变成了图5
一样的图了,后面的证明和上面相同.

2.2. 变形二
如果我们把两个正方形中间再加一个小正方形,那么结论会变成什么样子?
如图10
,有三个正方形 、、,取 中点 ,则有 且 .

很明显,这个图是上面图5
的一个推广,如果中间的小正方形缩成一个点,那么就变成了图5
.
既然是推广,那么证明应该也是类似的.我们还是可以倍长 来做,不过这个时候要找的全等变得复杂了一些.

如图11
,我们倍长 至 ,可以类似地证明 .
不过在证明的时候需要注意,这里面隐藏着两个「手拉手」的全等模型,在证明上面的全等的时候需要用到,如图12
,有 ,,都是旋转 的全等.

2.3. 拓展联想
在圆的内接四边形中,有一个类似的结论:
若圆内接四边形的对角线相互垂直,则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边.
这就是 Brahmagupta 定理,一般译作「婆罗摩笈多定理」,或者「布拉美古塔定理」.
如图13
,在圆的内接四边形 中,,过对角线的中点 作 点 ,交 于点 ,则 是 的中点.

这个的证明是比较简单的,
于是
故 ,直接倒角就可以证明了.
这个定理的逆命题也成立,即如果 是 的中点,那么 .证明和上面类似.
总结一下,这类问题主要是和中点有关系,主要的方法是「倍长中线」和「手拉手」的全等.还有一类问题是借助于中位线来解决的,这一类题目讨论的不是 的中点(图1中),而是 的中点.这一类问题,我们放到下一篇文章中来讨论.
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2020-04-03
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2020-04-03
在上一篇文章的最后,我们留了一个问题,就是如果仅保留等腰的条件,是否还有比较好的结论?
要解决这个问题,我们先从一种特殊情况谈起.
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2020-04-07
在前面的三篇文章中,我们探究了和正方形有关的中点问题.在本文中,我们来看一个和梯形有关的中点问题.
和梯形相关的中点问题,主要可以分为「底中点」和「腰中点」两大类.对于「底中点」相关的问题,我们合并到下一篇关于一般四边形的中点问题的文章中一起来讨论.今天我们重点来看一下和「腰中点」有关的问题.
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2021-03-12
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2021-03-20
在平面直角坐标系 中,设点 ,,则